25.1.3.2. 流线，路径线，迹线#
在矢量场可视化中，流场（例如空气流动、水流等）可视化是其中最常见且直观的重要应用，许多矢量场可视化技术最初就是为流场设计的。流场可视化用于研究和理解复杂的三维涡流动和湍流的物理过程。这些流动可能是稳定的或非稳定的，流动模式也可以以多种方式显示，如染料或烟雾注入流场后拍摄的照片，或是使用一些技术（如热线或数字粒子图像测速法）测量的矢量场。为了更系统地分析流动特性，人们通常会从测量数据中提取流线、迹线或路径线等辅助图形，用以揭示流体的局部行为和整体演变。
1. 流线（streamlines）
流线是相对静止（稳态）或瞬时切片情况下，通过一个种子点在空间中连续积分速度向量得到的空间曲线。流线关注的是瞬时流场的结构，在非稳定流场中流线的形态会随时间变化。这里积分所使用的速度向量是在特定时刻的流场中各点的流速矢量。换言之，流线展示了“如果在特定时刻将粒子置于某点，它的瞬时流动方向轨迹”（如图 25.8），但并不是一条真实的运动轨迹，不应用于展示流体随时间的实际运动路径。
设流场在时刻 \(t_0\) 的速度场为 \(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}, t_0)\)。
引入一个积分参数 \(s\)，流线 \(\boldsymbol{x}(s)\) 可以定义为：
(25.5)#\[\begin{split}
\frac{d\boldsymbol{x}(s)}{ds} &= \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(s), t_0), \\
\boldsymbol{x}(0) &= \boldsymbol{x}_0.
\end{split}\]
其中：
\( \boldsymbol{x}_0\) 是流线上一个起始点；
\(s\) 可以理解为沿曲线的“积分步”或“路径长度”参量；
\(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(s), t_0)\) 表示在时刻 \(t_0\) 位置 \(\boldsymbol{x}(s)\) 的速度向量。
流线的计算流程：
选取种子点：可手动或自动选择若干点作为粒子的初始位置；
数值积分：在向量场中，以初值 \(\boldsymbol{x}_0\) 为起点，通过积分方法（如欧拉方法或龙格-库塔方法，
前者是一阶近似，计算快但精度低；后者有四阶精度，稳定性高，广泛应用于工程仿真）不断更新粒子位置；
停止条件：达到网格边界、速度阈值过小或最大积分步数后终止。
将积分得到的点序列连成曲线，并对曲线进行着色(如速度大小)或其它视觉编码。
也可以通过一些实验的方法观测流线。由于流线只有在很短的时间内才可以认为是恒定的，于是实验上观测流线的方法是，观察摄入染料的短时间内（曝光时间量级）线形。
图 25.8 流线示例。左：与箭头表示法结合的流线绘制；中：条形磁铁周围的磁力线，由撒在磁铁上方纸上的铁屑排列表示；右：世界地图上的洋流示意。 © Wikipedia#
对于时变流场，则可以选择路径线和迹线来展示随时间变化的流动。
2. 路径线（pathlines）
与流线不同，路径线在非稳态流场（随时间变化的场）中表示从开始点到结束点的实际运动轨迹。它反映了粒子在真实时间维度下的移动过程。
因此，在稳态流场中，各处流速不随时间变化，路径线与流线重合，但在非稳态流场中，路径线与流线不再等价。
对于一个在时刻 \(t_0\) 处于位置 \(\boldsymbol{x}_0\) 的粒子，将其随时间 \(t\) 变化的轨迹记为 \(\boldsymbol{x}(t)\)，则满足：
(25.6)#\[\begin{split}
\frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt} &= \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(t),t),\\
\boldsymbol{x}(t_0) &= \boldsymbol{x}_0.
\end{split}\]
其中：
\(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)\) 是非稳态（或稳态）流场随时间变化的速度函数；
\(\boldsymbol{x}(t)\) 称为路径线或粒子轨迹。
路径线计算流程：
时序数据获取：流场在多个时间步(如 \(t_0\)，\(t_1\)，\(t_2\)，…)上都有速度向量信息；
积分方法：在每个时间步以粒子当前位置为初值，积分到下一时间步时的粒子位置；
连接轨迹：将所有时间步粒子的空间位置连成曲线。
路径线可以通过跟踪射入的粒子的长程轨迹来实验得到。
如下面的实验图。
图 25.9 路径线示例：长时间曝光的篝火火花照片显示了热空气流动的路径。© Wikipedia#
3. 迹线（streaklines）
用来表示在同一空间位置持续释放的粒子所形成的轨迹。直观地说，想象不断地往水流中滴墨水，那么这些墨滴在流体中被带动形成的一条连续曲线，就是迹线。迹线描述的事连续注入的粒子的集合运动，而不是依赖某个粒子的历史轨迹。迹线在实验流体动力学中常用，比如通过注入染料或烟雾来观察流动。
设:
\(\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t) \)为流场的速度场（向量场）；
在坐标 \(\boldsymbol{x}_0\) 处持续释放粒子；
\(\tau\) 表示粒子的释放时刻（可从 0 到当前时刻 \(t\) 范围内）。
对于在时间 \(\tau\) 被释放的粒子，我们用 \(\boldsymbol{x}(t;\tau)\) 表示它在时间 \(t\ge\tau\) 时所处的位置，满足以下常微分方程：
(25.7)#\[\begin{split}
\frac{d\boldsymbol{x}(t;\tau)}{dt} = \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(t;\tau),t),\\
\end{split}\]
并且它的初值条件（初始位置）为:
\[
\boldsymbol{x}(\tau;\tau) = \boldsymbol{x}_0.
\]
即该粒子在被释放的瞬间（\(t=\tau\)）在 \(\boldsymbol{x}_0\) 位置。
图 25.10 迹线示例。左：风洞中汽车周边的空气流动 © Wikipedia；右：模拟软件中飞机周边的空气流动 © Paraview。#
总结来说，流线、路径线、迹线可视化在流体动力学、气象学和海洋学等领域中非常有用，它们帮助揭示流体流动的模式和结构。三者均是理解流体运动特征、构建流体可视化的重要工具。在非稳定流动中，迹线和流线、路径线会有明显的差异，而在稳定流动中，三者会重合。
在具体应用时，应根据是否稳态、对粒子演化的关注程度以及实验/模拟中注入位置等因素，选用或结合使用这几种曲线形式来进行分析与展示。