文章目录一、最大元二、最小元三、最大元、最小元示例四、极大元五、极小元六、极大元、极小元示例七、上界八、下界九、上界、下界示例十、上确界 ( 最小上界 )十一、下确界 ( 最大下界 )十二、上确界、下确界示例一、最大元
B \subseteq A ,
y \in B ,
B 中的所有元素与
y 都是可比的 ,
B 中的任意元素
x , 都满足
x 小于等于
y符号化表示 :
\forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y )称
y 是
B 集合的最大元 ;
二、最小元
B \subseteq A ,
y \in B ,
B 中的所有元素与
y 都是可比的 ,
B 中的任意元素
x , 都满足
y 小于等于
x符号化表示 :
\forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x )称
y 是
B 集合的最小元 ;
三、最大元、最小元示例集合
A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} ,
集合
A 上的整除关系 “
|” 是偏序关系 ,
偏序集是
x 整除
y ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}y 能被
x 整除 ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}绘制上述偏序集的哈斯图 :
B_1 = \{ 1,2,3 \}B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}B_3 = A求上述集合的 最大元 , 最小元 ?
B_1 = \{ 1,2,3 \}最大元 : 2, 3互相不可比 , 没有最大元 ;
最小元 : 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 ,
1 是最小元 ;
B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}最大元 : 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 ,
15 是最大元 ;
最小元 : 3, 5互相不可比 , 没有最小元 ;
B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}最大元 : 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有最大元 ;
最小元 : 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 ,
1 是最小元 ;
四、极大元
B \subseteq A ,
y \in B ,
在
B 中没有比
y 更大的元素 ,
符号化表示 :
\forall x ( x \in B \land y \preccurlyeq x \to x = y )称
y 是
B 集合的 极大元 ;
五、极小元
B \subseteq A ,
y \in B ,
在
B 中没有比
y 更小的元素 ,
符号化表示 :
\forall x ( x \in B \land x \preccurlyeq y \to x = y )称
y 是
B 集合的 极小元 ;
六、极大元、极小元示例集合
A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} ,
集合
A 上的整除关系 “
|” 是偏序关系 ,
偏序集是
x 整除
y ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}y 能被
x 整除 ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}绘制上述偏序集的哈斯图 :
B_1 = \{ 1,2,3 \}B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}B_3 = A求上述集合的 极大元 , 极小元 ?
B_1 = \{ 1,2,3 \}极大元 : 2, 3互相不可比 , 没有比
2,3 更大的元素 ,
2,3 是极大元 ;
极小元 : 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比
1 更小的元素 ,
1 是极小元 ;
B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}极大元 : 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 没有比
15 更大的元素 ,
15 是 极大元 ;
最小元 : 3, 5互相不可比 , 没有比
3,5 更小的元素 ,
3,5 是极小元 ;
B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}极大元 : 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有比
9,4,6,15,10 更大的元素 ,
9,4,6,15,10 是极大元 ;
极小元 : 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比
1 更小的元素 ,
1 是极小元 ;
七、上界
B \subseteq A ,
y \in Ay 比
B 中所有的元素都要大
符号化表示 :
\forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y )称
y 是
B 集合的 上界 ;
八、下界
B \subseteq A ,
y \in Ay 比
B 中所有的元素都要小
符号化表示 :
\forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x )称
y 是
B 集合的 下界 ;
九、上界、下界示例集合
A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} ,
集合
A 上的整除关系 “
|” 是偏序关系 ,
偏序集是
x 整除
y ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}y 能被
x 整除 ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}绘制上述偏序集的哈斯图 :
B_1 = \{ 1,2,3 \}B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}B_3 = A求上述集合的 上界 , 下界 ?
B_1 = \{ 1,2,3 \}上界 : 6 与
1, 2, 3 可比 ,
6 比
B_1 中所有元素都大 ,
6 是上界 ;
下界 : 1 与
1, 2, 3 可比 ,
1 比
B_1 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}上界 : 15 与
3 , 5, 15 可比 ,
15 比
B_2 中所有元素都大 ,
15 是上界 ;
下界 : 1 与
3 , 5, 15 可比 ,
1 比
B_2 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}上界 : 不存在元素与 B_3 中的元素都可比 ; 不存在上界 ;
下界 : 1 与
B_3 中的元素可比 ,
1 比
B_3 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
十、上确界 ( 最小上界 )
B \subseteq A ,
y \in A上界中最小的元素就是 最小上界, 又称为上确界
十一、下确界 ( 最大下界 )
B \subseteq A ,
y \in A下界中最大的元素就是 最大下界, 又称为下确界
十二、上确界、下确界示例集合
A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} ,
集合
A 上的整除关系 “
|” 是偏序关系 ,
偏序集是
x 整除
y ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}y 能被
x 整除 ,
x 是除数 (分母) ,
y 是被除数 (分子) ;
\dfrac{y}{x}绘制上述偏序集的哈斯图 :
B_1 = \{ 1,2,3 \}B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}B_3 = A求上述集合的 上确界( 最小上界 ) , 下确界 ( 最大下界 ) ?
B_1 = \{ 1,2,3 \}上确界 : 6 与
1, 2, 3 可比 ,
6 比
B_1 中所有元素都大 ,
6 是上界 ;
6 也是上确界 , 最小上界 ;
下确界 : 1 与
1, 2, 3 可比 ,
1 比
B_1 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
1 也是下确界 , 最大下界 ;
B_2 = \{ 3 , 5, 15 \}上确界 : 15 与
3 , 5, 15 可比 ,
15 比
B_2 中所有元素都大 ,
15 是上界 ;
15 也是上确界 , 最小上界 ;
下确界 : 1 与
3 , 5, 15 可比 ,
1 比
B_2 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
1 也是下确界 , 最大下界 ;
B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \}上确界 : 不存在元素与 B_3 中的元素都可比 ; 不存在上界 ; 不存在 上确界 / 最小上界 ;
下确界 : 1 与
B_3 中的元素可比 ,
1 比
B_3 中所有元素都小 ,
1 是下界 ;
1 也是下确界 , 最大下界 ;