第三章 轨道运动学
当我们仰望星空，观察行星在夜空中的运行轨迹时，很难想象这种宏伟壮观的天体运动竟能被如此精确的数学规律所描述。本章将带领读者探索椭圆轨道上天体运动的精妙规律，揭示自然界这一壮丽现象背后的数学本质。
在前两章的基础上，我们已经了解了轨道力学的基本定律和轨道要素的几何意义。现在，我们将更进一步，深入研究椭圆轨道上天体的运动学特性。本章的核心问题是：给定一个天体（行星或人造卫星）的轨道要素和某一时刻，如何确定它在此时刻的位置和速度？这是航天任务规划、轨道预报和航天器导航的基础问题，具有重要的理论和实践意义。
3.1 开普勒方程与偏近点角
3.1.1 运动学问题的本质
轨道运动学的核心任务是建立时间与位置之间的映射关系。在开普勒第二定律中，我们知道行星在相等时间间隔内扫过等面积，这为我们提供了时间和位置之间的基本联系。然而，这种联系并不直接。如果我们能够从时间直接计算出天体的位置（真近点角），那么轨道问题将变得非常简单。遗憾的是，这种映射关系涉及到一个著名的超越方程——开普勒方程，它没有解析解，只能通过数值方法求解。
开普勒方程的推导可以追溯到开普勒本人的工作。当他试图将他的第二定律（等面积定律）与椭圆轨道特性结合时，发现了这个方程。这个方程之所以重要，是因为它在任意时刻将天体的平近点角（与时间成正比的角度量）与偏近点角（与位置直接相关的角度量）联系起来。这种联系构成了轨道力学中时间和空间关系的桥梁。
3.1.2 平近点角的物理意义
平近点角（Mean Anomaly）是一个随时间均匀变化的角度量，用符号MMM表示。它的定义基于一个虚构的情景：假想有一颗行星在与实际行星相同周期的圆轨道上做匀速圆周运动，当实际行星位于近地点时，这颗虚构行星也位于其轨道的相应位置。那么，从近地点算起，这颗虚构行星所经过的角度就是平近点角。
平近点角与时间的关系非常简单：
M=n(t−t0)M = n(t - t_0)M=n(t−t0)
其中，nnn是平均运动率（单位时间内角度变化量），ttt是当前时刻，t0t_0t0是天体通过近地点的时刻。平均运动率nnn可以通过以下公式计算：
n=2πT=μa3n = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{\mu}{a^3}}n=T2π=a3μ
式中，TTT是轨道周期，μ\muμ是中心天体的引力常数（对地球而言，μ=GM⊕≈3.986×1014 m3/s2\mu = GM_{\oplus} \approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2μ=GM⊕≈3.986×1014 m3/s2），aaa是轨道半长轴。
平近点角的范围是0≤M<2π0 \leq M < 2\pi0≤M<2π。当M=0M = 0M=0时，天体位于近地点；当M=πM = \piM=π时，天体位于远地点。平近点角的引入大大简化了时间与角度的关系，但它本身并不直接对应于天体在轨道上的实际位置。
3.1.3 偏近点角的几何意义
为了建立平近点角与实际位置之间的联系，天文学家引入了一个几何量——偏近点角（Eccentric Anomaly），用符号EEE表示。偏近点角有着清晰的几何解释：如果我们在椭圆轨道外部作一个与轨道共焦点、半径等于轨道半长轴的辅助圆，然后从天体在椭圆上的位置向主轴作垂线，垂线与辅助圆交于一点，连接此点与椭圆中心的线段与正x轴的夹角就是偏近点角。
偏近点角的引入看似增加了复杂度，但它实际上为我们提供了一个中间量，使得平近点角（时间）与真近点角（位置）之间的转换变得可能。偏近点角的范围也是0≤E<2π0 \leq E < 2\pi0≤E<2π。当E=0E = 0E=0时，天体位于近地点；当E=πE = \piE=π时，天体位于远地点。
3.1.4 开普勒方程的导出与物理意义
开普勒方程建立了平近点角MMM与偏近点角EEE之间的关系：
M=E−esinEM = E - e\sin EM=E−esinE
这个方程看似简单，却隐含着深刻的物理内涵。当离心率e=0e=0e=0时（圆轨道），M=EM = EM=E，平近点角等于偏近点角，表明在圆轨道上，角度变化是均匀的。但当e>0e > 0e>0时（椭圆轨道），由于减去了一个正弦项esinEe\sin EesinE，所以当0
从几何角度看，开普勒方程可以理解为椭圆轨道上的扇形面积与对应的辅助圆扇形面积之间的关系。根据开普勒第二定律，平近点角正比于扇形面积，而这个面积又可以通过偏近点角来表达。
开普勒方程的重要性在于，它将时间（通过平近点角表示）与空间位置（通过偏近点角间接表示）联系起来。然而，这个方程是一个超越方程，没有解析解。也就是说，给定时间ttt（或平近点角MMM），我们无法通过简单的代数运算直接求出偏近点角EEE。这就需要引入数值方法来求解开普勒方程。
3.1.5 开普勒方程的数值解法
求解开普勒方程是轨道计算中的基本问题，天文学家和数学家已经开发了多种数值方法。最常用的是牛顿-拉夫森（Newton-Raphson）迭代法。
该方法的基本思路是：从一个初始猜测值开始，通过迭代逐步逼近真实解。具体算法如下：
定义函数f(E)=E−esinE−Mf(E) = E - e\sin E - Mf(E)=E−esinE−M，我们的目标是找到使f(E)=0f(E) = 0f(E)=0的EEE值。选择一个初始猜测值E0E_0E0。通常，对于小离心率，可以取E0=ME_0 = ME0=M；对于大离心率，可以取E0=πE_0 = \piE0=π。迭代计算：En+1=En−f(En)f′(En)=En−En−esinEn−M1−ecosEnE_{n+1} = E_n - \frac{f(E_n)}{f'(E_n)} = E_n - \frac{E_n - e\sin E_n - M}{1 - e\cos E_n}En+1=En−f′(En)f(En)=En−1−ecosEnEn−esinEn−M当两次迭代结果之差小于预设阈值时（例如∣En+1−En∣<10−8|E_{n+1} - E_n| < 10^{-8}∣En+1−En∣<10−8），认为已收敛到足够精度，返回En+1E_{n+1}En+1作为解。
对于大多数实际问题，牛顿-拉夫森法通常在3-5次迭代内就能达到很高的精度。收敛速度与初值选择和离心率大小有关。当离心率接近1（近似抛物线轨道）时，收敛可能变慢，这时可能需要更好的初值估计或其他更适合高离心率情况的方法。
除了牛顿-拉夫森法外，还有许多其他方法可以用来求解开普勒方程，如二分法、正割法、固定点迭代法等。在实际应用中，选择哪种方法取决于计算资源、精度要求以及特定问题的特点。
3.1.6 真近点角与偏近点角的关系
在求得偏近点角EEE后，我们还需要计算真近点角ν\nuν（True Anomaly），它直接表示天体在轨道上的角度位置。真近点角定义为天体、中心天体和近地点形成的角度。
偏近点角EEE与真近点角ν\nuν之间有以下关系：
tanν2=1+e1−etanE2\tan\frac{\nu}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan\frac{E}{2}tan2ν=1−e1+etan2E
或者等价地：
cosν=cosE−e1−ecosE\cos\nu = \frac{\cos E - e}{1 - e\cos E}cosν=1−ecosEcosE−e
sinν=1−e2sinE1−ecosE\sin\nu = \frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1 - e\cos E}sinν=1−ecosE1−e2sinE
这些方程完成了从偏近点角到真近点角的转换。结合前面的开普勒方程，我们现在可以建立完整的计算链：时间ttt → 平近点角MMM → 偏近点角EEE → 真近点角ν\nuν。
真近点角的范围同样是0≤ν<2π0 \leq \nu < 2\pi0≤ν<2π。当ν=0\nu = 0ν=0时，天体位于近地点；当ν=π\nu = \piν=π时，天体位于远地点。与平近点角不同，真近点角在轨道上变化不均匀：在近地点附近变化较快，在远地点附近变化较慢。
通过以上分析，我们可以看到，开普勒方程与偏近点角是连接时间和空间的桥梁，是理解和计算椭圆轨道运动的关键。下一节，我们将讨论轨道周期与平均运动，进一步探索椭圆轨道的时间特性。
3.2 轨道周期与平均运动
3.2.1 轨道周期的基本概念
轨道周期（Orbital Period）是天体在其轨道上完成一次完整运行所需的时间，它是轨道运动最基本、最直观的时间参数。在太阳系中，行星的轨道周期从水星的88天到海王星的165年不等，这种巨大的差异反映了太阳系行星轨道结构的多样性。
轨道周期的概念看似简单，实际上需要明确定义。对于完全理想的两体问题，轨道周期可以定义为天体从近地点出发，再次回到近地点所需的时间。然而，在实际天文观测中，由于观测条件的限制，常常采用不同的参考点来定义周期，如从升交点到升交点的恒星周期、从春分点到春分点的回归年等。
在航天工程中，尤其对于地球卫星而言，轨道周期通常指卫星绕地球一周所需的时间。准确理解和计算轨道周期对于卫星任务规划、轨道维持和卫星通信至关重要。
3.2.2 轨道周期的计算
轨道周期与轨道半长轴之间存在着精确的数学关系，这正是开普勒第三定律的内容。根据开普勒第三定律，轨道周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。这一定律的精确表达式为：
T=2πa3μT = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}T=2πμa3
其中，TTT是轨道周期，aaa是轨道半长轴，μ\muμ是中心天体的引力常数（μ=GM\mu = GMμ=GM，GGG是万有引力常数，MMM是中心天体质量）。
这一公式适用于任何中心天体和任何轨道形状，只要轨道是封闭的（即椭圆轨道）。值得注意的是，轨道周期只与轨道半长轴有关，与轨道离心率无关。这一事实具有深刻的物理意义：无论轨道形状如何变化（前提是保持半长轴不变），轨道周期保持不变。
对于地球卫星，引力常数μ⊕≈3.986×1014 m3/s2\mu_{\oplus} \approx 3.986 \times 10^{14} \text{ m}^3/\text{s}^2μ⊕≈3.986×1014 m3/s2，代入上式可得：
T≈2πa33.986×1014T \approx 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{3.986 \times 10^{14}}}T≈2π3.986×1014a3
当aaa的单位为米时，TTT的单位为秒。
3.2.3 平均运动率及其物理意义
平均运动率（Mean Motion）是描述天体在轨道上角度变化的重要参数，用符号nnn表示，单位通常为弧度/秒或度/秒。它定义为天体在单位时间内平均扫过的角度，计算公式为：
n=2πT=μa3n = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{\mu}{a^3}}n=T2π=a3μ
平均运动率的物理意义在于，它表示天体在轨道上的平均角速度。虽然根据开普勒第二定律，天体在轨道上的实际角速度是变化的（近地点快，远地点慢），但平均运动率给出了一个均匀的参考标准。
平均运动率在轨道动力学中有着广泛应用。首先，它是计算平近点角的基础：M=n(t−t0)M = n(t - t_0)M=n(t−t0)。其次，它是轨道摄动理论中的重要参数，许多轨道长期演化的公式都以平均运动率为基准。最后，在航天任务设计中，平均运动率直接关系到卫星的覆盖周期、重访周期等关键指标。
3.2.4 轨道高度与周期的关系
对于近地卫星，我们经常用轨道高度来描述轨道。轨道高度hhh定义为卫星距离地球表面的高度，与轨道半长轴aaa的关系为：
a=R⊕+ha = R_{\oplus} + ha=R⊕+h
其中，R⊕R_{\oplus}R⊕是地球半径（约6378公里）。
将这一关系代入轨道周期公式，可以得到轨道高度与周期的关系：
T=2π(R⊕+h)3μ⊕T = 2\pi\sqrt{\frac{(R_{\oplus} + h)^3}{\mu_{\oplus}}}T=2πμ⊕(R⊕+h)3
这个公式揭示了一个重要现象：轨道高度越高，轨道周期越长。这是因为随着高度增加，一方面轨道周长增大，另一方面根据万有引力定律，引力减小导致卫星速度降低。这两个因素共同导致轨道周期随高度增加而增加。
例如，国际空间站的轨道高度约为400公里，轨道周期约为92分钟；而地球同步卫星的轨道高度约为35786公里，轨道周期为一个恒星日（约23小时56分4秒）。
3.2.5 不同轨道周期的实际应用
轨道周期是航天任务设计的重要考虑因素，不同的应用需求对应不同的轨道周期选择：
低地球轨道（LEO）：轨道高度约在160-2000公里之间，周期约为1.5-2小时。这类轨道适合地球观测、气象监测、侦察和某些通信任务。LEO卫星距离地面近，通信延迟小，但覆盖范围有限，需要多颗卫星组成星座才能实现全球覆盖。
中地球轨道（MEO）：轨道高度约在2000-35786公里之间，周期约为2-24小时。这类轨道主要用于导航卫星系统，如美国的GPS、欧洲的伽利略、中国的北斗和俄罗斯的格洛纳斯。MEO卫星覆盖范围广，寿命长，是实现全球导航定位的理想选择。
地球同步轨道（GSO）：轨道高度约为35786公里，周期为一个恒星日。这类轨道的卫星与地球自转同步，但不一定停留在地球上方的固定点上。如果轨道倾角为零，且轨道为圆轨道，则卫星将位于地球赤道上空的固定点上，这就是地球静止轨道（GEO）。GSO和GEO主要用于通信、广播和气象观测。
高椭圆轨道（HEO）：这类轨道具有较大的离心率，如Molniya轨道和Tundra轨道，周期通常为12小时或24小时。HEO轨道的特点是卫星在远地点附近运动缓慢，可以长时间覆盖高纬度地区，适合为高纬度地区提供通信服务。
选择合适的轨道周期需要综合考虑任务需求、覆盖要求、卫星寿命和发射能力等多种因素。例如，对于需要频繁重访的地球观测任务，可以选择近极地的太阳同步轨道，既能确保全球覆盖，又能保证观测条件的一致性。
3.2.6 同步轨道的特殊意义
同步轨道是指卫星轨道周期与某个特定周期相同的轨道。最为人所知的是地球同步轨道，卫星在这一轨道上的周期与地球自转周期相同。但实际上，同步轨道的概念更广泛，可以与各种周期相同步。
地球同步轨道的重要性不言而喻。位于这一轨道的卫星相对于地球表面的特定位置保持相对静止或按固定轨迹运动，这使得它们成为通信、广播和气象观测的理想平台。地球静止轨道作为一种特殊的地球同步轨道，其卫星相对于地球表面的特定点完全静止，这一特性使得地面天线可以固定指向，大大简化了地面设备的设计和操作。
除了地球同步轨道外，还有其他类型的同步轨道，如太阳同步轨道（卫星轨道面相对于太阳方向保持固定角度）、月球同步轨道等。这些轨道各有特点，适用于不同的任务需求。
通过对轨道周期与平均运动的深入理解，我们可以更好地设计和分析各类航天任务，为航天器选择最合适的轨道，实现任务目标。在下一节中，我们将探讨如何确定天体在轨道上的位置和速度，这是轨道动力学的核心内容。
3.3 位置与速度的确定
3.3.1 轨道运动的基本方程
确定天体在任意时刻的位置和速度是轨道力学的核心问题，它直接关系到航天任务的规划、天体测量和天文观测等多个领域。在理解了开普勒方程和轨道周期的基础上，我们现在来探讨如何从轨道要素确定天体在特定时刻的位置和速度。
回顾一下，描述椭圆轨道的六个轨道要素是：半长轴aaa、离心率eee、轨道倾角iii、升交点赤经Ω\OmegaΩ、近地点幅角ω\omegaω和真近点角ν\nuν（或初始时刻t0t_0t0）。其中，前五个要素确定了轨道的大小、形状和空间姿态，而第六个要素（真近点角或初始时刻）则确定了天体在轨道上的位置。
在确定位置和速度时，我们通常先在轨道平面坐标系中计算，然后再转换到参考坐标系（如地心惯性坐标系）中。轨道平面坐标系的原点是中心天体（如地球），x轴指向近地点，y轴在轨道平面内与x轴垂直，z轴垂直于轨道平面，构成右手坐标系。
3.3.2 位置矢量的计算
在轨道平面坐标系中，天体的位置矢量可以通过以下步骤计算：
给定时刻ttt，计算平近点角：M=n(t−t0)M = n(t - t_0)M=n(t−t0)通过数值方法（如牛顿-拉夫森法）求解开普勒方程：M=E−esinEM = E - e\sin EM=E−esinE，得到偏近点角EEE计算轨道平面坐标系中的位置坐标：
r=a(1−ecosE)r = a(1 - e\cos E)r=a(1−ecosE)
x=a(cosE−e)x = a(\cos E - e)x=a(cosE−e)
y=a1−e2sinEy = a\sqrt{1 - e^2}\sin Ey=a1−e2sinE
z=0z = 0z=0
其中，rrr是天体到中心天体的距离（轨道半径）。
也可以直接使用真近点角ν\nuν来计算位置矢量：
r=a(1−e2)1+ecosνr = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\nu}r=1+ecosνa(1−e2)
x=rcosνx = r\cos\nux=rcosν
y=rsinνy = r\sin\nuy=rsinν
z=0z = 0z=0
这两组公式是等价的，第一组使用偏近点角EEE，适合当我们已经解出开普勒方程后使用；第二组使用真近点角ν\nuν，适合当我们已知真近点角时使用。
值得注意的是，以上计算都是在轨道平面坐标系中进行的。若要转换到惯性参考坐标系（如地心赤道坐标系），需要通过一系列旋转变换：
绕z轴旋转角度ω\omegaω（近地点幅角）绕x轴旋转角度iii（轨道倾角）绕z轴旋转角度Ω\OmegaΩ（升交点赤经）
这些旋转可以用矩阵形式表示为：
reci=R3(Ω)⋅R1(i)⋅R3(ω)⋅rorb\mathbf{r}_{eci} = \mathbf{R}_3(\Omega) \cdot \mathbf{R}_1(i) \cdot \mathbf{R}_3(\omega) \cdot \mathbf{r}_{orb}reci=R3(Ω)⋅R1(i)⋅R3(ω)⋅rorb
其中，R1\mathbf{R}_1R1和R3\mathbf{R}_3R3分别是绕x轴和z轴的旋转矩阵，rorb\mathbf{r}_{orb}rorb是轨道平面坐标系中的位置矢量，reci\mathbf{r}_{eci}reci是惯性坐标系中的位置矢量。
3.3.3 速度矢量的计算
速度矢量的计算与位置矢量类似，也可以分两步进行：先在轨道平面坐标系中计算，再转换到参考坐标系。
在轨道平面坐标系中，使用偏近点角EEE计算速度分量：
vx=−nasinE1−ecosEv_x = -\frac{na\sin E}{1 - e\cos E}vx=−1−ecosEnasinE
vy=na1−e2cosE1−ecosEv_y = \frac{na\sqrt{1 - e^2}\cos E}{1 - e\cos E}vy=1−ecosEna1−e2cosE
vz=0v_z = 0vz=0
其中，n=μ/a3n = \sqrt{\mu/a^3}n=μ/a3是平均运动率。
也可以使用真近点角ν\nuν计算速度分量：
vx=−μpsinνv_x = -\sqrt{\frac{\mu}{p}}\sin\nuvx=−pμsinν
vy=μp(e+cosν)v_y = \sqrt{\frac{\mu}{p}}(e + \cos\nu)vy=pμ(e+cosν)
vz=0v_z = 0vz=0
其中，p=a(1−e2)p = a(1 - e^2)p=a(1−e2)是轨道的半通径。
速度的大小可以通过能量方程直接计算：
v=μ(2r−1a)v = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}v=μ(r2−a1)
这个公式表明，速度大小仅与半长轴aaa和当前距离rrr有关，与角度位置无关。这是轨道力学中的一个重要结论，称为轨道能量守恒定律。
与位置矢量一样，速度矢量也需要通过相同的旋转变换转换到惯性参考坐标系：
veci=R3(Ω)⋅R1(i)⋅R3(ω)⋅vorb\mathbf{v}_{eci} = \mathbf{R}_3(\Omega) \cdot \mathbf{R}_1(i) \cdot \mathbf{R}_3(\omega) \cdot \mathbf{v}_{orb}veci=R3(Ω)⋅R1(i)⋅R3(ω)⋅vorb
3.3.4 轨道速度随位置的变化规律
轨道速度不是恒定的，而是随着天体在轨道上的位置变化而变化。这一变化规律由开普勒第二定律（等面积定律）决定：天体在近地点运动速度最快，在远地点运动速度最慢。
具体来说，在椭圆轨道上，速度大小与轨道半径成反比：
v∝1rv \propto \frac{1}{r}v∝r1
这意味着轨道半径越小，速度越大；轨道半径越大，速度越小。
对于椭圆轨道，近地点和远地点的速度可以分别计算为：
vp=μa1+e1−e2v_{p} = \sqrt{\frac{\mu}{a}}\frac{1 + e}{\sqrt{1 - e^2}}vp=aμ1−e21+e
va=μa1−e1−e2v_{a} = \sqrt{\frac{\mu}{a}}\frac{1 - e}{\sqrt{1 - e^2}}va=aμ1−e21−e
其中，vpv_{p}vp是近地点速度，vav_{a}va是远地点速度。
从这两个公式可以导出近地点速度与远地点速度的比值：
vpva=1+e1−e\frac{v_{p}}{v_{a}} = \frac{1 + e}{1 - e}vavp=1−e1+e
这个比值仅与离心率eee有关，与轨道半长轴无关。离心率越大，这个比值越大，意味着近地点和远地点的速度差异越显著。例如，对于离心率e=0.5e = 0.5e=0.5的轨道，近地点速度是远地点速度的3倍。
这种速度变化规律对于航天任务具有重要意义。例如，在地球同步转移轨道（GTO）中，航天器在近地点喷射发动机更为高效，可以用较少的燃料实现较大的轨道变化。
3.3.5 逃逸速度与圆轨道速度的关系
逃逸速度是天体摆脱中心天体引力束缚所需的最小速度。在距离中心天体距离为rrr的位置，逃逸速度为：
vesc=2μrv_{esc} = \sqrt{\frac{2\mu}{r}}vesc=r2μ
圆轨道速度是天体在半径为rrr的圆轨道上运行所需的速度：
vcirc=μrv_{circ} = \sqrt{\frac{\mu}{r}}vcirc=rμ
比较这两个公式，可以发现：
vesc=2vcircv_{esc} = \sqrt{2}v_{circ}vesc=2vcirc
即逃逸速度恰好是相同半径圆轨道速度的2\sqrt{2}2倍（约1.414倍）。这一关系在航天任务设计中非常重要。例如，对于近地轨道，圆轨道速度约为7.8 km/s，相应的逃逸速度约为11.2 km/s。
从能量角度看，圆轨道对应的能量为Ecirc=−μ2rE_{circ} = -\frac{\mu}{2r}Ecirc=−2rμ，这是负值，表示天体被束缚在轨道内；而逃逸轨道（抛物线轨道）对应的能量为Eesc=0E_{esc} = 0Eesc=0，表示天体恰好摆脱引力束缚；当能量为正值时，轨道为双曲线，天体可以无限远离中心天体。
3.3.6 状态转移矩阵与相对运动
在许多航天应用中，我们需要研究航天器之间的相对运动，如编队飞行、对接和交会等。这时，状态转移矩阵（State Transition Matrix）是一个有用的工具。
状态转移矩阵Φ(t,t0)\Phi(t, t_0)Φ(t,t0)定义为一个线性变换，它将初始时刻t0t_0t0的状态向量X(t0)\mathbf{X}(t_0)X(t0)映射到时刻ttt的状态向量X(t)\mathbf{X}(t)X(t)：
X(t)=Φ(t,t0)⋅X(t0)\mathbf{X}(t) = \Phi(t, t_0) \cdot \mathbf{X}(t_0)X(t)=Φ(t,t0)⋅X(t0)
其中，状态向量X\mathbf{X}X包含位置和速度：X=[r,v]T\mathbf{X} = [\mathbf{r}, \mathbf{v}]^TX=[r,v]T。
对于开普勒轨道，状态转移矩阵有解析解，它基于轨道要素的变化。利用状态转移矩阵，我们可以高效地计算相对轨道并进行相对导航和控制。
在实际航天任务中，如航天器对接，常常使用Hill坐标系（也称为轨道坐标系）来描述相对运动。在这个坐标系中，原点是目标航天器，x轴指向轨道外侧，z轴指向中心天体，y轴补充构成右手坐标系。在Hill坐标系中，相对运动可以通过线性化的Clohessy-Wiltshire方程来描述，这大大简化了相对运动分析和控制设计。
通过以上方法，我们可以精确计算天体在任意时刻的位置和速度，这是轨道预报、轨道设计和航天器导航的基础。在下一节中，我们将探讨轨道能量与角动量，进一步加深对轨道运动本质的理解。
3.4 轨道能量与角动量
3.4.1 轨道能量的概念与物理意义
在天体力学中，能量是描述轨道特性的最基本、最重要的物理量之一。对于两体问题，系统的总能量保持恒定，这一事实使得能量成为分析轨道运动的强大工具。
轨道总能量EEE定义为天体的动能和势能之和：
E=12mv2−GMmrE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}E=21mv2−rGMm
其中，mmm是天体质量，vvv是天体速度，GGG是万有引力常数，MMM是中心天体质量，rrr是天体到中心天体的距离。
在轨道力学中，通常使用单位质量的能量（即比能量），以简化表达：
ε=Em=12v2−μr\varepsilon = \frac{E}{m} = \frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r}ε=mE=21v2−rμ
其中，μ=GM\mu = GMμ=GM是中心天体的引力常数。
轨道能量的物理意义在于，它决定了轨道的类型：
当ε<0\varepsilon < 0ε<0时，轨道是封闭的椭圆；当ε=0\varepsilon = 0ε=0时，轨道是开放的抛物线；当ε>0\varepsilon > 0ε>0时，轨道是开放的双曲线。
对于椭圆轨道，能量与半长轴有着简单而深刻的关系：
ε=−μ2a\varepsilon = -\frac{\mu}{2a}ε=−2aμ
这个公式揭示了轨道能量与轨道"大小"（半长轴）之间的反比关系：能量越低（绝对值越大），轨道越小；能量越高（绝对值越小），轨道越大。
值得注意的是，轨道能量仅与半长轴有关，与离心率无关。这意味着，具有相同半长轴但不同离心率的轨道，其能量相同。这一事实在轨道设计中具有重要应用，例如霍曼转移轨道的设计就基于这一原理。
3.4.2 角动量及其守恒
角动量是描述旋转运动的物理量，在轨道力学中具有特殊重要性。天体相对于中心天体的角动量定义为：
h=r×v\mathbf{h} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}h=r×v
其中，r\mathbf{r}r是位置矢量，v\mathbf{v}v是速度矢量，×\times×表示叉积运算。
在中心力场中，角动量是守恒的。这正是开普勒第二定律（等面积定律）的数学表达。角动量守恒意味着：
dhdt=0\frac{d\mathbf{h}}{dt} = \mathbf{0}dtdh=0
角动量矢量的方向垂直于轨道平面，其大小为：
h=∣h∣=rvsinϕh = |\mathbf{h}| = rv\sin\phih=∣h∣=rvsinϕ
其中，ϕ\phiϕ是位置矢量与速度矢量之间的夹角。
对于椭圆轨道，角动量大小与轨道要素的关系为：
h=μa(1−e2)=μph = \sqrt{\mu a (1-e^2)} = \sqrt{\mu p}h=μa(1−e2)=μp
其中，p=a(1−e2)p = a(1-e^2)p=a(1−e2)是轨道的半通径。
角动量守恒有几个重要的推论：
轨道始终位于同一平面内（因为角动量矢量方向不变）；当天体靠近中心天体时，其速度增大；当远离中心天体时，其速度减小（这解释了为什么近地点速度大，远地点速度小）；轨道离心率的变化不会改变角动量大小（这在轨道机动分析中非常有用）。
3.4.3 能量与角动量在轨道分析中的重要性
能量和角动量是轨道力学中两个最基本的守恒量，它们在轨道分析和设计中发挥着关键作用。
首先，能量和角动量直接关联着轨道的基本特性。给定能量ε\varepsilonε和角动量hhh，我们可以确定轨道的半长轴aaa和离心率eee：
a=−μ2εa = -\frac{\mu}{2\varepsilon}a=−2εμ
e=1−h2μae = \sqrt{1 - \frac{h^2}{\mu a}}e=1−μah2
这意味着，能量和角动量完全确定了轨道的大小和形状。
其次，能量和角动量守恒原理简化了轨道动力学问题的求解。例如，在计算轨道速度时，我们可以直接使用能量方程：
v=2(ε+μr)=μ(2r−1a)v = \sqrt{2\left(\varepsilon + \frac{\mu}{r}\right)} = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}v=2(ε+rμ)=μ(r2−a1)
这比从头计算速度要简单得多。
第三，能量和角动量变化是轨道机动分析的基础。当航天器进行推进时，能量和/或角动量发生变化，导致轨道参数改变。通过分析能量和角动量的变化，我们可以确定实现特定轨道转移所需的速度增量。
最后，在摄动轨道理论中，能量和角动量的缓慢变化是轨道长期演化的关键指标。通过研究各种摄动力（如大气阻力、非球形引力场等）对能量和角动量的影响，可以预测轨道的长期行为。
3.4.4 能量守恒与角动量守恒的应用
能量守恒和角动量守恒原理在轨道力学中有着广泛的应用。以下是一些典型例子：
1. 轨道变轨分析
在霍曼转移轨道中，航天器从一个圆轨道转移到另一个圆轨道。转移开始时的速度增量改变了航天器的能量，而角动量的变化决定了转移轨道的形状。通过能量和角动量分析，可以计算出最优的速度增量方向和大小。
2. 引力辅助技术
当航天器通过行星进行引力辅助时，在行星中心参考系中，能量守恒，但角动量发生变化，导致航天器轨道发生偏转。通过巧妙设计航天器与行星的相对位置，可以利用这种偏转来改变航天器相对于太阳的速度，从而实现轨道的大幅调整。
3. 三体问题的分析
虽然三体问题没有解析解，但能量守恒原理仍然适用。通过分析系统的总能量，可以确定三体系统的可能行为范围，如运动是否有界、系统是否稳定等。
4. 摄动轨道理论
在考虑非中心力场（如地球非球形引力场）的情况下，严格的角动量守恒不再成立，但我们可以分析摄动力对角动量的影响，从而预测轨道的长期演化。例如，地球的J2项（赤道扁率项）导致轨道升交点赤经的进动，这可以通过分析角动量的变化来量化。
3.4.5 维利定理在轨道力学中的应用
维利定理（Virial Theorem）是力学中的一个重要定理，它建立了系统平均动能与平均势能之间的关系。对于受逆平方力（如引力）作用的系统，维利定理指出：
⟨T⟩=−12⟨V⟩\langle T \rangle = -\frac{1}{2}\langle V \rangle⟨T⟩=−21⟨V⟩
其中，⟨T⟩\langle T \rangle⟨T⟩是时间平均动能，⟨V⟩\langle V \rangle⟨V⟩是时间平均势能。
对于椭圆轨道，维利定理意味着平均动能等于平均势能的一半（取绝对值）。这一结论可以用来简化轨道能量分析，特别是在研究多体系统时。例如，在分析行星系统的稳定性时，维利定理可以用来估计系统的总能量和寿命。
维利定理还有一个重要推论：对于稳定的引力束缚系统，总能量为负。这解释了为什么椭圆轨道（封闭轨道）具有负能量，而抛物线和双曲线轨道（开放轨道）的能量分别为零和正值。
3.4.6 轨道能量与角动量的相图分析
在研究复杂的轨道行为时，能量-角动量相图（E-h diagram）是一个有用的工具。在这种相图中，横轴代表角动量hhh，纵轴代表能量ε\varepsilonε。每个轨道在相图上对应一个点，而轨道演化则表示为点在相图上的轨迹。
对于保守系统（无摄动），轨道对应的点在相图上保持不变。但在有摄动的情况下，点会在相图上缓慢移动，反映了轨道参数的长期变化。通过分析这种移动的模式，可以预测轨道的长期行为并识别潜在的不稳定性。
相图分析在研究天体捕获、轨道共振和混沌轨道动力学等复杂问题时特别有用。例如，在研究小行星的长期轨道演化时，能量-角动量相图可以帮助识别稳定区域和不稳定区域，预测小行星可能的命运。
本章小结
在本章中，我们深入研究了椭圆轨道的运动学特性，揭示了天体在轨道上运动的基本规律。我们从开普勒方程开始，探讨了平近点角、偏近点角和真近点角之间的关系，以及如何通过数值方法求解开普勒方程。然后，我们研究了轨道周期与平均运动，了解了轨道大小与周期之间的关系，以及不同轨道周期的实际应用。接着，我们学习了如何从轨道要素计算天体的位置和速度，了解了轨道速度随位置变化的规律。最后，我们探讨了轨道能量与角动量的概念、物理意义及其应用，理解了这两个守恒量在轨道分析中的重要作用。
通过本章的学习，我们掌握了分析和计算椭圆轨道运动的基本方法，为后续章节中的轨道机动、轨道摄动等更复杂的主题奠定了基础。在实际的航天任务中，这些知识是轨道设计、轨道预报和导航控制的理论基础，具有广泛的应用价值。
轨道运动的优雅之处在于，复杂的天体运行可以用简洁的数学公式精确描述。这种数学的力量不仅使我们能够预测天体的未来位置，还使我们可以设计和控制人造航天器的轨道，探索太阳系乃至更远的宇宙空间。正如开普勒和牛顿的工作开启了现代天文学和力学的新时代，今天的轨道力学继续引领人类探索宇宙的前沿。
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